第四十三章 BSD猜想

时间已经是半夜了，但是躺在床的叶鄃嵊还是瞪着一双大眼睛，还没有睡觉。
一想到从此不再是一个人了，身边有一位可爱又迷人的女友陪伴，辈子的那些遗憾到今天就算是正式弥补了，叶鄃嵊就翻来覆去的睡不着。
实在睡不着，那就起来做数学题嘛。
正好关于BSD猜想的证明还有很多问题，反正明天除了帮大力搬家之外也没有别的事情了，干脆今天晚就跟它死磕了。
叶鄃嵊起身穿好衣服做到了书桌面前，铺开一张又一张的草稿纸，拿起笔准备开始了。
你别说，心情激荡之下，脑子就停不下来，一遍又一遍的飞速运转，就跟做了很多次头脑风暴一样，居然还真的有些灵感冒出来了。
别说，就这灵光一闪，居然让叶鄃嵊摸到了新的出口的边。
BSD猜想，全称贝赫和斯维纳通-戴尔猜想。
自世纪五十年代以来，数学家便发现椭圆曲线与数论、几何、密码学等有著密切的关系，例如，怀尔斯(Wiles)证明费马最后定理，其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之间的关系(谷山-志村猜想)。
BSD猜想就是与椭圆曲线有关。
世纪六十年代，英国剑桥大学的贝赫与斯维纳通-戴尔利用电脑计算一些多项式方程式的有理数解时发现，这种方程通常会有无穷多解。
然而要如何给出无穷多解呢？
其解法是先分类，典型的数学方法是同余并藉此得同余类，即被一个数除之后的余数。
但是无穷多个数不可能每个都是需要的，数学家们便选择了质数，所以从某种程度说，这个问题还与黎曼猜想Zeta函数有关。
经过长时间大量的计算与资料收集，贝赫和斯维纳通-戴尔观察出一些规律与模式，因而提出BSD猜想：设E是定义在代数数域K的椭圆曲线，E(K)是E的有理点的集合，已经知道E(K)是有限生成交换群，即L(s，E)是E的Hasse-WeilL函数，则E(K)的秩恰好等于L(E，s)在s=1处零点的阶，并且后者的Taylor展开的第一个非零系数可以由曲线的代数性质精确表出。
前半部分通常称为弱BSD猜想，后半部分则是BSD猜想分圆域的类数公式的推广。
目前，数学家们仅仅证明了rank=0和1的弱BSD猜想成立，对于Rank≥2部分的强BSD猜想，依旧无能为力。
此前叶鄃嵊也是沿着格罗斯、科茨走的那条路线，尝试在rank=0和1的基础，推出rank≥2的BSD猜想，却发现渐渐走进了死胡同。
最近半年内，他始终没有任何进展。
而这一次，叶鄃嵊打算换个方式，利用同余数问题来证明BSD猜想。
虽然当前数学界，已经有人尝试通过同余数问题去证明BSD猜想，但这条路难度太大，还处于萌发状态，目前国际数学界并没有出现太多的成果。
之前叶鄃嵊也没有选择这条路，但是就在刚刚，叶鄃嵊突然想到，难度太大、没有成果，就一定证明这条路行不通吗？当前的主流思想就一定代表是正确的吗？
可以换个思路试试。
叶鄃嵊任由思路飞翔、然后开始奋笔疾书。
首先是是关于同余数问题的证明，即证明存在无穷多个素因子个数为任何指定正整数的同余数。
然后，推导出BSD对这样的E_D成立：D是某个8k 5型素数和若干8k 1型素数的乘积，只要\BbbQ(\sqrt{-D})的类群的4倍映射是单的。
……
给定素数p，(1)p\equiv3(\mod8)：p不是同余数但2p是同余数；(2)p\equiv5(\mod8)：p是同余数；(3)p\equiv7(\mod8)：p和2p都是同余数。
(弱BSD猜想)BSD猜想对E_D成立。特别的，r_D0当且仅当L(1，E_D)=0。
假定弱BSD猜想成立，则(1)理论我们能够判定D是否为同余数；(2)Tunnell定理给出在有限步内决定D是否为同余数的算法；(3)可以证明D\equiv5，6，7(\mod8)时r_D为奇数，故这样的D均为同余数。
……
根据Heegner点的高度理论——著名的Gross-Zagier公式可以将其与L(1，E)联系起来。
而基于Eichler，Shimura在模椭圆曲线方面的工作以及新近证明的Taniyama–Shimura猜想(模定理)，可以将L(s，E)解析延拓到整个复平面并且相应的Riemann猜想成立。
……
这一算，时间便不知不觉的流失了，而且随着新思路的开拓，新的证明也变得越来越顺
也不知过了多久，叶鄃嵊总算得出了一个大略的结果，证明了这一猜想，长长舒了口气。
能这么快就得出结果，还是依仗于叶鄃嵊之前的努力，因为他之前在这条路已经走了很久，相当于是很多路已经被趟平了的，现在换个方向走，很多坎坷是不需要思考就可以直接跨过去的。
这才能这么快就有结果。
虽然这里面有很多步骤是省略掉的，还有很多计算是叶鄃嵊用自己专属的标记来记录的，想要变成论文还需要更近一部的努力，但是已经得出来了最终的结果。
仅仅只是拿着这一摞草稿纸，叶鄃嵊也可以骄傲的宣布，自己证明了BSD成果。
叶鄃嵊长舒了一口气，站起来伸了个懒腰，走到窗户边打开窗户，深深的吸了一口凉气。
外面的天居然还是黑的！